|
14.4.2. Проверка статистических гипотез
В статистике рассматривается огромное число задач, связанных с проверкой тех
или иных гипотез н. Разберем пример простой гипотезы. Пусть имеется выборка
N чисел с нормальным законом распределения и неизвестными дисперсией и математическим
ожиданием. Требуется принять или отвергнуть гипотезу н о том, что математическое
ожидание закона распределения равно некоторому числу m0=0.2.
Задачи проверки гипотез требуют задания уровня критерия проверки
гипотезы а, который описывает вероятность ошибочного отклонения истинной н.
Если взять а очень малым, то гипотеза, даже если она ложная, будет почти всегда
приниматься; если, напротив, взять а близким к 1, то критерий будет очень строгим,
и гипотеза, даже верная, скорее всего, будет отклонена. В нашем случае гипотеза
состоит в том, что цо=о.2, а альтернатива — что m0=0.2. Оценка математического
ожидания, как следует из курса классической статистики, решается с помощью распределения
Стьюдента с параметром N-1 (этот параметр называется степенью свободы распределения).
Для проверки гипотезы (листинг 14.22) рассчитывается (а/2) — квантиль распределения Стьюдента т, который служит критическим значением для принятия или отклонения гипотезы. Если соответствующее выборочное значение t по модулю меньше т, то гипотеза принимается (считается верной). В противном случае гипотезу следует отвергнуть.
Листинг 14.22. Проверка гипотезы о математическом ожидании при неизвестной
дисперсии
В последней строке листинга вычисляется истинность или ложность условия, выражающего решение задачи. Поскольку условие оказалось ложным (равным не 1, а 0), то гипотезу необходимо отвергнуть.
На рис. 14.16 показано распределение Стьюдента с N-1 степенью свободы вместе
с критическими значениями, определяющими соответствующий интервал. Если t (оно
тоже показано на графике) попадает в него, то гипотеза принимается; если не
попадает (как произошло в данном случае) — отвергается. Если увеличить а, ужесточив
критерий, то границы интервала будут сужаться, по сравнению с показанными на
рисунке.
В листинге 14.23 приводится альтернативный способ проверки той
же самой гипотезы, связанный с вычислением значения не квантиля, а самого распределения
Стьюдента.
Рис. 14.16. К задаче проверки статистических гипотез (листинг
14.22)
Листинг 14.23. Другой вариант проверки гипотезы (продолжение листинга 14.22)
Мы разобрали только два характерных примера статистических вычислений. Однако с помощью Mathcad легко решаются самые разнообразные задачи математической статистики.
Большое количество задач разобрано в Ресурсах в рубрике Statistics (Статистика)
справочной системы Mathcad 11.
|
