|
15.4.1. Преобразование Фурье
Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала
у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется
преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент
v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование
Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,
Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.
Преобразование Фурье действительных данных
Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических
приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ
(быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных
функциях Mathcad, различающихся нормировками.
- fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
- FFT(Y) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
- ifft(v) — вектор обратного преобразования Фурье;
- IFFT(V) — вектор обратного преобразования Фурье в другой
нормировке;
- у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки
значений аргумента;
- v — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через
равные промежутки значений частоты.
Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно
2n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2n-1 элементами.
И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2n-1 элементов,
а его результатом будет вектор из 2n элементов. Если число данных не совпадает
со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.
Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование
Фурье (листинг 15.20)
Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов
разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен
в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается,
что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга
применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие
значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются
в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным.
Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с
определением синусоид в листинге 15.20.
Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье
Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)
Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.
Преобразование Фурье комплексных данных
Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера "с".
- cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
- CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье
в другой нормировке;
- icfft(y) —вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
- ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье
в другой нормировке;
- у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений
аргумента;
- v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные
промежутки значений частоты.
Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае
действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят
только его половину (см. выше разд. "Преобразование Фурье действительных
данных" этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным
получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию
комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов.
Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами
действительного и комплексного Фурье-преобразования.
Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение
листинга 15.20)
Двумерное преобразование Фурье
В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.
Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье
Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг
15.21)
|
