|
7.2.2. Производные высших порядков
Mathcad позволяет численно определять производные высших порядков, от 0-го
до 5-го включительно. Чтобы вычислить производную функции f (х) N-го порядка
в точке х, нужно проделать те же самые действия, что и при взятии первой производной
(см. разд. 7.2.1), за тем исключением, что вместо оператора производной необходимо
применить оператор N-й производной (Nth Derivative). Этот оператор вводится
с той же панели Calculus (Вычисления) либо с клавиатуры нажатием клавиш <Ctrl>+<?>
и содержит еще два местозаполнителя, в которые следует поместить число N. В
полном соответствии с математическим смыслом оператора, определение порядка
производной в одном из местозаполнителей приводит к автоматическому появлению
того же числа в другом из них.
"Производная" при N=0 по определению равна самой функции, при N=1
получается обычная первая производная. Листинг 7.14 демонстрирует численное
и символьное вычисление второй производной. Обратите внимание, что, как и при
вычислении обычной производной, необходимо перед оператором дифференцирования
присвоить аргументу функции значение, для которого будет вычисляться производная.
Листинг 7.14. Численное и символьное вычисление второй производной
Убедиться в том, что символьный процессор Mathcad в последней строке листинга
7.14 дает тот же результат, что и вычислительный процессор в предыдущей строке,
можно, упростив его. Для этого следует выделить полученное последнее выражение
и выбрать в меню Symbolics (Символика) пункт Symplify (Упростить). После этого
ниже появится еще одна строка с численным результатом выделенного выражения.
Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го, следует последовательно применить
несколько раз оператор N-й производной, подобно тому как вводились операторы
кратного интегрирования (см. разд. 7.1.4). Однако для символьных вычислений
этого не потребуется — символьный процессор умеет считать производные порядка
выше 5-го. Сказанное иллюстрирует листинг 7.15, в котором сначала численно,
а затем символьно вычисляется седьмая производная синуса в точке х=0.1.
Листинг 7.15. Численное и символьное вычисление седьмой производной
Расчет производных высших порядков производится тем же вычислительным методом
Риддера, что и расчет первых производных. Причем для первой производной этот
метод обеспечивает точность до 7-8 значащих разрядов числа, а при повышении
порядка производной на каждую единицу точность падает примерно на один разряд.
Из сказанного ясно, что падение точности при численном расчете высших производных
может быть очень существенно. В частности, если попытаться определить девятую
производную синуса, подобно идее листинга 7.15, то в качестве результата будет
выдан нуль, в то время как истинное значение девятой производной равно cos (0.1).
|
